Teoria nadprzewodnictwa Ginzburga-Landaua

Teoria nadprzewodnictwa Ginzburga-Landaua – w fizyce teoria opisująca nadprzewodnictwo, czyli zjawisko polegające na prawie całkowitym zaniku oporu elektrycznego, które pozwala na przepływ prądu o bardzo dużym natężeniu prawie bez strat. Pole magnetyczne nie może wniknąć do wnętrza nadprzewodnika, co powoduje, że wykonany z niego przedmiot lewituje nad magnesem. Teoria została zaproponowana przez Witalija Ginzburga i Lwa Landaua.

Teoria fenomenologiczna

Teoria nadprzewodnictwa Ginzburga-Landaua podobnie jak inne teorie przejść fazowych ma charakter fenomenologiczny, co znaczy, że opisuje zjawisko w postaci pewnego równania nie odnosząc się do jego źródeł. Powstaje ona dzięki umiejętnemu dopasowaniu matematycznych zależności, ale nie pozwala na zrozumienie zjawisk zachodzących w mikroświecie, które są podstawą nadprzewodnictwa. W niskich temperaturach (ciekły hel –272 °C) zjawisko to opisuje teoria BCS, ale załamuje się ona w przypadku nadprzewodnictwa wysokotemperaturowego (ciekły azot –196 °C).

Teoria nadprzewodnictwa Ginzburga-Landaua jest użyteczna kiedy zjawiska w skali mikro są nieistotne do przewidzenia zjawisk zachodzących w nadprzewodniku. Opiera się na rozumowaniu zbliżonym do stosowanego w termodynamice, czyli nauce o procesach cieplnych w gazach. Pojawiają się w niej parametry takie jak masa efektywna oraz ładunek efektywny, którym odpowiada masa pary Coopera, czyli dwóch sparowanych elektronów oraz ładunek elektronu. Teoria nadprzewodnictwa Ginzburga-Landaua nie wyjaśnia dlaczego parametry te mają akurat taką postać i dopiero dzięki BCS można zrozumieć podstawy fizyczne zjawiska.

Energia swobodna

Teoria nadprzewodnictwa Ginzburga-Landaua została oparta na wcześniejszej teorii Landaua dotyczącej przejścia fazowego drugiego rzędu. Energia swobodna $F$ nadprzewodnika w okolicy przejścia fazowego może być wyrażona jako zespolony parametr rzędu $\psi ,$ który opisuje poziom nadprzewodnictwa.

W teorii Ginzburga-Landaua postuluje się lagranżjan pola $\varphi ^{4},$ tzn.:

{\mathcal {L}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla \psi \nabla \psi ^{\star }+\alpha |\psi |^{2}+\beta |\psi |^{4},\qquad {}

(*)

gdzie:

\nabla

– operator nabla,

{\mathcal {L}}

– lagranżjan układu nadprzedwonika,

\hbar

– zredukowana stała Plancka,

\alpha

i

\beta

– stałe empiryczne, czyli dobrane tak, aby najlepiej pasowały do pomiarów,

m

– masa spoczynkowa elektronu.

Minimalizując metodą wariacyjną energię swobodną dla takiego pola otrzymujemy zależność opisaną równaniem:

F=F_{n}+\alpha |\psi |^{2}+{\frac {\beta }{2}}|\psi |^{4}+{\frac {1}{2m}}\left|\left(-i\hbar \nabla -2e{\vec {A}}\right)\psi \right|^{2}+{\frac {|{\vec {H}}|^{2}}{2\mu _{0}}},\qquad {}

(**)

gdzie:

F_{n}

– energia swobodna w fazie normalnej,

{\vec {A}}

– potencjał wektorowy,

{\vec {H}}

– natężenie pola magnetycznego,

\mu _{0}

– przenikalność magnetyczna próżni,

e

– ładunek elektronu.

Równania Ginzburga-Landaua

Zgodnie z zasadami termodynamiki każdy układ dąży do minimalizacji energii swobodnej. Odszukując minimum równania (**) oraz uwzględniając fluktuacje w parametrze porządku oraz potencjale pola elektromagnetycznego, można wyznaczyć równania Ginzburga-Landaua:

\alpha \psi +\beta |\psi |^{2}\psi +{\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar \nabla -2e{\vec {A}}\right)^{2}\psi =0,\qquad {}

(***)

{\vec {J}}={\frac {2e}{m}}\left(\psi ^{*}\left(-i\hbar \nabla -2e{\vec {A}}\right)\psi \right),\qquad {}

(****)

gdzie:

{\vec {J}}

– gęstość prądu,

i – jednostka urojona.

Równanie (***) jest podobne do czasozależnego równania Schrödingera i określa parametr porządku $\psi$ w oparciu o przyłożone pole magnetyczne. Równanie (****) pozwala wyznaczyć natężenie prądu nadprzewodnictwa

Parametry $\alpha ,$ $\beta$ wynoszą odpowiednio:

\alpha =1{,}83{\frac {1}{\xi _{0}}}{\frac {T-T_{0}}{T_{0}}},

\beta =0{,}35N(0)\left({\frac {\hbar ^{2}}{2m\xi _{0}^{2}}}\right)^{2}{\frac {1}{(k_{B}T_{0})^{2}}},

gdzie $N(0)$ jest gęstością stanów na powierzchni Fermiego, a $\xi _{0}$ jest długością koherencji. Reszta oznaczeń standardowa.

Długości charakterystyczne

Równania Ginzburga-Landaua umożliwiają opis wielu ciekawych zjawisk związanych z nadprzewodnikami, a szczególnie dwie długości charakterystyczne dla tego typu materiałów.

Pierwsza to długość koherencji $\xi ,$ określająca największą odległość, na jakiej wystąpią zmiany par porządku opisującą rozmiar fluktuacji termodynamicznych w fazie nadprzewodzącej $\psi ,$ która dana jest równaniem:

\xi ={\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{2m|\alpha |}}}.

Druga z nich to głębokość wnikania pola magnetycznego w nadprzewodnik $\lambda ,$ opisana zależnością:

\lambda ={\sqrt {\frac {m}{4\mu _{0}e^{2}\psi _{0}^{2}}}}.

gdzie $\psi _{0}$ – wartość parametru rządu w stanie równowagi przy braku pola elektromagnetycznego.

Parametr Ginzburg-Landau $\kappa$ można obliczyć z zależności:

\kappa \ ={\frac {\lambda }{\xi }}.

Dla nadprzewodników niskotemperaturowych:

\kappa <{\frac {1}{\sqrt {2}}},

a dla wysokotemperaturowych:

\kappa >{\frac {1}{\sqrt {2}}}.

Dla przewodników niskotemperaturowych przejście fazowe jest pierwszego rzędu, a dla wysokotemperaturowych drugiego^[1], co zostało dowiedzione podczas wyprowadzania dualnej teorii Ginzburg-Landau.

Najważniejszym odkryciem opartym na teorii Ginzburg-Landau, było zaobserwowanie zjawiska polegającego na kwantyzacji kanałów, którymi silne pole magnetyczne penetruje nadprzewodnik, tworząc charakterystyczne sześciokątne struktury.

Zobacz też

Przypisy

↑ L.P. Gor’kov, Sov. Phys. JETP 36, 1364, 1959 (Chapter 13).

Bibliografia

V.L. Ginzburg, L.D. Landau, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 20, 1064 (1950).
A.A. Ginzburg, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 32, 1442 (1957).
L.P. Gor’kov, Sov. Phys. JETP 36, 1364 (1959).
D. Saint-James, G. Sarma and E. J. Thomas, Type II Superconductivity Pergamon (Oxford 1969).
M. Tinkham, Introduction to Superconductivity, McGraw-Hill (New York 1996).
Hagen Kleinert, Gauge Fields in Condensed Matter, Vol. I World Scientific (Singapore, 1989); Paperback ISBN 9971-5-0210-0 (dostępne w sieci).

[1] L.P. Gor’kov, Sov. Phys. JETP 36, 1364, 1959 (Chapter 13).

[1]